انواع اختلال در مکانیک کوانتومی
در مکانیک کوانتومی، منظور از اختلال معمولاً یک تغییر کوچک در همیلتونی سیستم است.
یعنی سیستمی داریم که حل دقیق آن را میدانیم، سپس یک جمله کوچک به آن اضافه میکنیم و اثر آن را روی انرژیها و تابع موج بررسی میکنیم.
به طور کلی مینویسیم:
H = H0 + H'
یا به شکل دقیقتر:
H = H0 + λV
که در آن:
- H0: همیلتونی حلشده و معلوم
- V: اختلال
- λ: پارامتر کوچک
- H': جمله اختلالی
دستهبندی کلی اختلالها
اختلالها در مکانیک کوانتومی به دو دسته اصلی تقسیم میشوند:
- اختلال مستقل از زمان
- اختلال وابسته به زمان
۱. اختلال مستقل از زمان
در این حالت، اختلال تابع زمان نیست و همیلتونی سیستم به صورت زیر نوشته میشود:
H = H0 + λV
این نوع اختلال برای محاسبه تغییرات انرژیهای ویژه و حالتهای ویژه به کار میرود.
الف) اختلال غیرتباهیده
اگر سطح انرژی اولیه فقط یک حالت متناظر داشته باشد، سیستم را غیرتباهیده مینامیم.
فرض میکنیم:
H0 |n(0)> = En(0) |n(0)>
تصحیح مرتبه اول انرژی برابر است با:
En(1) =
<n(0)| V |n(0)>
تصحیح مرتبه دوم انرژی:
En(2) =
Σm ≠ n
|<m(0)|V|n(0)>|2
/
(En(0) - Em(0))
پس انرژی تا مرتبه دوم تقریباً به شکل زیر است:
En ≈
En(0)
+ λEn(1)
+ λ2En(2)
تابع موج تا مرتبه اول:
|n> =
|n(0)>
+
λ
Σm ≠ n
[
<m(0)|V|n(0)>
/
(En(0) - Em(0))
]
|m(0)>
ب) اختلال تباهیده
اگر چند حالت مختلف انرژی یکسان داشته باشند، سیستم تباهیده است.
یعنی مثلاً:
E1(0) =
E2(0) =
... =
Eg(0)
در این حالت، فرمول اختلال غیرتباهیده مستقیماً قابل استفاده نیست، زیرا ممکن است مخرجهایی از نوع زیر ظاهر شوند:
En(0) - Em(0) = 0
برای حل مسئله، باید ماتریس اختلال را در زیرفضای تباهیده تشکیل دهیم:
Vij =
<i(0)| V |j(0)>
سپس معادله ویژهمقداری زیر حل میشود:
det(Vij - E(1)δij) = 0
مقادیر ویژه این ماتریس، تصحیح مرتبه اول انرژی هستند.
۲. اختلال وابسته به زمان
در اختلال وابسته به زمان، همیلتونی به صورت زیر نوشته میشود:
H = H0 + V(t)
در این نوع اختلال، هدف معمولاً محاسبه احتمال گذار از یک حالت اولیه به یک حالت نهایی است.
اگر سیستم ابتدا در حالت |i> باشد، احتمال گذار به حالت |f> در مرتبه اول به صورت زیر است:
Pi → f(t) =
|cf(1)(t)|2
که در آن:
cf(1)(t) =
(1 / iℏ)
∫0t
<f|V(t')|i>
eiωfit'
dt'
و:
ωfi =
(Ef - Ei) / ℏ
انواع رایج اختلال وابسته به زمان
الف) اختلال ناگهانی
اگر اختلال در زمانی بسیار کوتاه اعمال شود، به آن اختلال ناگهانی گفته میشود.
برای مثال:
V(x,t) = V(x)Θ(t)
کاربردهای آن شامل موارد زیر است:
- یونش ناگهانی
- برخوردهای سریع
- تغییر ناگهانی میدان خارجی
ب) اختلال آدیاباتیک
اگر اختلال بسیار آهسته تغییر کند، به آن اختلال آدیاباتیک میگویند.
در این حالت سیستم فرصت دارد خود را با تغییرات هماهنگ کند.
کاربردها:
- تغییر آرام میدان مغناطیسی
- فاز بری
- فرآیندهای کوانتومی آهسته
ج) اختلال تناوبی
اگر اختلال به صورت سینوسی یا کسینوسی باشد، آن را اختلال تناوبی مینامیم.
V(t) = V0 cos(ωt)
یا:
V(t) = V0 e-iωt
این نوع اختلال باعث گذارهای تشدیدی میشود، زمانی که:
ℏω ≈ Ef - Ei
کاربردها:
- جذب نور
- گسیل القایی
- رزونانس مغناطیسی
- برهمکنش اتم با موج الکترومغناطیسی
قانون طلایی فرمی
برای اختلال وابسته به زمان و گذار به مجموعهای از حالتهای پیوسته، از قانون طلایی فرمی استفاده میشود.
Wi → f =
(2π / ℏ)
|<f|V|i>|2
ρ(Ef)
که در آن:
- Wi → f: نرخ گذار
- ρ(Ef): چگالی حالتهای نهایی
خلاصه انواع اختلال
| نوع اختلال | ویژگی | کاربرد |
|---|---|---|
| مستقل از زمان غیرتباهیده | انرژیها جدا و غیرهمساناند | تصحیح انرژی و تابع موج |
| مستقل از زمان تباهیده | چند حالت انرژی یکسان دارند | شکافت ترازهای انرژی |
| وابسته به زمان | اختلال تابع زمان است | احتمال گذار |
| ناگهانی | تغییر بسیار سریع | برخورد سریع، یونش |
| آدیاباتیک | تغییر بسیار آهسته | فاز بری، تغییر آرام میدان |
| تناوبی | تغییر سینوسی یا نوری | جذب و گسیل فوتون |
| قانون طلایی فرمی | گذار به حالتهای پیوسته | نرخ واپاشی و پراکندگی |
جمعبندی
در مکانیک کوانتومی، اختلالها به طور اصلی به دو دسته تقسیم میشوند:
Time-independent perturbation
و
Time-dependent perturbation
اختلال مستقل از زمان برای پیدا کردن تغییر انرژی و تابع موج به کار میرود،
اما اختلال وابسته به زمان برای بررسی گذار بین حالتهای کوانتومی استفاده میشود.