توزیع ماکسول – بولتزمن

جمعه هفدهم بهمن ۱۳۹۹ - 20:16 - nali -

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

ماکسول – بولتزمن
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی
مولفه های	$a> 0$
پشتیبانی	$x \ در (0؛ \ ناکافی)$
PDF	$\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ frac {x ^ 2 e ^ {- x ^ 2 / \ سمت چپ (2a ^ 2 \ right)}} {a ^ 3}$
CDF	$\ operatorname {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2} a} \ right) - \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ frac {xe ^ {- x ^ 2 / \ چپ (2a ^ 2 \ راست)}} {a}$ که در آن ERF است تابع خطا
منظور داشتن	$\ mu = 2a \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}$
حالت	$\ sqrt {2} الف$
واریانس	$\ sigma ^ 2 = \ frac {a ^ 2 (3 \ pi - 8)} {\ pi}$
چولگی	$\ gamma_1 = \ frac {2 \ sqrt {2} (16 -5 \ pi)} {(3 \ pi - 8) ^ {3/2}}$
سابق. کورتوز	$\ gamma_2 = 4 \ frac {\ left (-96 + 40 \ pi-3 \ pi ^ 2 \ right)} {(3 \ pi - 8) ^ 2}$
آنتروپی	$\ ln \ چپ (یک \ sqrt {2 \ pi} \ راست) + \ gamma- \ frac {1} {2}$

در فیزیک (به ویژه در مکانیک آماری ) ، توزیع ماکسول-بولتزمن توزیع احتمالی خاصی است که به نام جیمز کلرک مکسول و لودویگ بولتزمن نامگذاری شده است .

ابتدا برای توصیف سرعت ذرات در گازهای ایده آل شده ، جایی که ذرات بدون تعامل با یکدیگر آزادانه درون یک ظرف ثابت حرکت می کنند ، تعریف شد و مورد استفاده قرار گرفت ، به استثنای برخورد بسیار مختصر که در آن با یکدیگر و یا با محیط گرمایی خود انرژی و حرکت حرکت می کنند. اصطلاح "ذره" در این زمینه فقط به ذرات گازی ( اتم ها یا مولکول ها ) اشاره دارد و فرض بر این است که سیستم ذرات به تعادل ترمودینامیکی رسیده است . [1] انرژی این ذرات از آنچه به عنوان آمار ماکسول-بولتزمن معروف است پیروی می کند، و توزیع آماری سرعت با معادل سازی انرژی ذرات با انرژی جنبشی بدست می آید .

از نظر ریاضی ، توزیع ماکسول-بولتزمن توزیع خی با سه درجه آزادی است (اجزای بردار سرعت در فضای اقلیدسی ) ، با یک پارامتر مقیاس اندازه گیری سرعت در واحدهای متناسب با ریشه مربع

${\ displaystyle T / m}$ (نسبت دما و جرم ذرات). [2]

توزیع ماکسول-بولتزمن نتیجه تئوری جنبشی گازها است ، که توضیح ساده ای از بسیاری از خصوصیات گازی بنیادی ، از جمله فشار و انتشار را ارائه می دهد . [3] توزیع ماکسول-بولتزمن اساساً در سه بعد سرعت ذرات اعمال می شود ، اما به نظر می رسد که فقط به سرعت ( مقدار سرعت) ذرات بستگی دارد . یک توزیع احتمال سرعت ذره نشان می دهد که کدام سرعتها بیشتر است: یک ذره دارای سرعتی است که به طور تصادفی از توزیع انتخاب می شود و به احتمال زیاد در یک دامنه سرعت بیش از دیگری است. تئوری جنبشی گازها در مورد گاز ایده آل کلاسیک اعمال می شود، که ایده آل سازی گازهای واقعی است. در گازهای واقعی ، اثرات مختلفی وجود دارد (به عنوان مثال ، فعل و انفعالات ون در والس ، جریان گردشی ، محدودیت های سرعت نسبی و فعل و انفعالات تبادل کوانتومی ) که می تواند توزیع سرعت آنها را از فرم ماکسول-بولتزمن متفاوت کند. با این حال ، گازهای کمیاب در دمای معمولی تقریباً مانند یک گاز ایده آل رفتار می کنند و توزیع سرعت ماکسول یک تقریب عالی برای چنین گازهایی است. پلاسمای ایده آل ، که گازهای یونیزه با چگالی کافی کم هستند ، غالباً دارای توزیع ذرات هستند که به طور جزئی یا کاملاً ماکسولی هستند. [4]

توزیع برای اولین بار توسط ماکسول در سال 1860 به دلایل ابتکاری انجام شد. [5] بولتزمن بعداً ، در دهه 1870 ، تحقیقات قابل توجهی در مورد ریشه های فیزیکی این توزیع انجام داد.

توزیع می تواند بر اساس مبنایی باشد که آنتروپی سیستم را به حداکثر برساند. لیستی از مشتقات عبارتند از:

حداکثر توزیع احتمال آنتروپی در فضای فاز ، با محدودیت صرفه جویی در انرژی متوسط ${\ displaystyle \ langle H \ rangle = E}$ ؛
گروه متعارف .

فهرست

عملکرد توزیع [ ویرایش ]

با فرض اینکه سیستم مورد نظر حاوی تعداد زیادی ذرات باشد ، کسری از ذرات درون یک عنصر بی نهایت کوچک از فضای سرعت سه بعدی ، ${\ displaystyle d ^ {3} v}$ ، محور یک بردار سرعت است $v$ ، است ${\ displaystyle f (v) d ^ {3} v}$ ، که در آن

که $متر$ جرم ذره است ، $ک$ است ثابت بولتزمن ، و $تی$ درجه حرارت و ترمودینامیک .

توابع چگالی احتمال سرعت سرعت چند گاز نجیب در دمای 298.15 K (25 درجه سانتیگراد). Y محور در S / M است به طوری که منطقه تحت هر بخش از منحنی (که نشان دهنده احتمال بودن سرعت در آن محدوده) بدون بعد است.

می توان عنصر فضای سرعت را به صورت d نوشت ${\ displaystyle ^ {3} v}$ = د $v_x$ د $v_y$ د $v_z$ ، برای سرعت در یک سیستم مختصات دکارتی استاندارد ، یا به عنوان ${\ displaystyle ^ {3} v}$ $v ^ {2}$ $v$ $\ امگا$ در یک سیستم مختصات کروی استاندارد ، جایی که د $\ امگا$ عنصری از زاویه جامد است. اینجا $f (v)$ به عنوان یک تابع توزیع احتمال داده می شود ، به درستی نرمال می شود به طوری که ${\ displaystyle \ int f (v)}$ ${\ displaystyle ^ {3} v}$ بیش از همه سرعت ها برابر با یک است. در فیزیک پلاسما ، توزیع احتمال غالباً در تراکم ذرات ضرب می شود ، به طوری که انتگرال تابع توزیع حاصل برابر با چگالی است.

تابع توزیع ماکسولئیان برای ذراتی که فقط در یک جهت حرکت می کنند ، اگر این جهت باشد {\ displaystyle x} $ایکس$ ، است

${\ displaystyle f (v_ {x}) ~ \ mathrm {d} v_ {x} = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {1/2} \، e ^ {- {\ frac {mv_ {x} ^ {2}} {2kT}}} ~ \ mathrm {d} v_ {x}،}$

که با ادغام فرم سه بعدی فوق الذکر بدست می آید $v_y$ و $v_z$ .

شناخت تقارن $f (v)$ ، می توان بیش از یک زاویه جامد ادغام کرد و یک توزیع احتمال سرعت را به عنوان تابع نوشت. [6]

${\ displaystyle f (v) \ mathrm {d} v = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3/2} \، 4 \ pi v ^ {2} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2kT}}} ~ \ mathrm {d} v،}$

این تابع چگالی احتمال احتمال یافتن ذره با سرعت نزدیک را می دهد $v$ . این معادله به سادگی توزیع ماکسول – بولتزمن است (که در infobox آورده شده است) با پارامتر توزیع $a = \ sqrt {kT / m}$ . توزیع ماکسول-بولتزمن با سه درجه آزادی و پارامتر مقیاس معادل توزیع chi است $a = \ sqrt {kT / m}$ .