ارتباط با توزیع 2 بعدی ماکسول

ارتباط با توزیع 2 بعدی ماکسول – بولتزمن

جمعه هفدهم بهمن ۱۳۹۹ - 20:18 - nali -

ارتباط با توزیع 2 بعدی ماکسول – بولتزمن [ ویرایش ]

شبیه سازی یک گاز آرامش بخش 2D به سمت توزیع سرعت ماکسول-بولتزمن

برای ذرات محدود شده برای حرکت در صفحه ، توزیع سرعت توسط داده می شود

${\ displaystyle P (s <| {\ vec {v}} | <s + ds) = {\ frac {ms} {kT}} \ exp {\ bigg (} - {\ frac {ms ^ {2}} {2kT}} {\ bigg)} ds}$

این توزیع برای توصیف سیستم در تعادل استفاده می شود. با این حال ، بیشتر سیستم ها در حالت تعادل شروع نمی شوند. تکامل یک سیستم به سمت حالت تعادل آن توسط معادله بولتزمن اداره می شود . این معادله پیش بینی می کند که برای فعل و انفعالات برد کوتاه ، توزیع سرعت تعادل توزیع ماکسول-بولتزمن را دنبال خواهد کرد. در سمت راست یک شبیه سازی دینامیک مولکولی (MD) وجود دارد که در آن 900 ذره کره سخت مجبور به حرکت در یک مستطیل هستند. آنها از طریق برخورد کاملاً الاستیک با هم تعامل دارند . این سیستم خارج از تعادل آغاز می شود ، اما توزیع سرعت (به رنگ آبی) به سرعت به توزیع 2D Maxwell-Boltzmann (به رنگ نارنجی) همگرا می شود.

سرعتهای معمول [ ویرایش ]

توزیع ماکسول-بولتزمن مربوط به جو خورشید. جرم ذرات یک جرم پروتون هستند ، ${\ displaystyle m = 1 {\ text {amu}} = 1.67 \ times 10 ^ {- 24} {\ text {g}}}$ ، و دما دمای موثر فوتوسفر خورشید است ، ${\ displaystyle T = 5800 {\ text {K}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {V}} ، {\ bar {V}} ، {\ text {and}} V _ {\ text {rms}}}$ به ترتیب محتمل ترین ، میانگین و میانگین سرعت ریشه را مشخص کنید. ارزش های آنها ${\ displaystyle {\ tilde {V}} \ تقریبی 9.79 {\ text {km / s،}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {V}} \ تقریبی 11.05 {\ text {km / s،}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ text {rms}} \ تقریباً 12.00 {\ text {km / s}}}$ .

میانگین سرعت ${\ displaystyle \ langle v \ rangle}$ ، محتمل ترین سرعت ( حالت ) v p و سرعت میانگین مربع ریشه ${\ displaystyle {\ sqrt {\ langle v ^ {2} \ rangle}}}$ از خصوصیات توزیع ماکسول بدست می آید.

این برای گازهای تقریباً ایده آل و یکنواخت مانند هلیوم ، اما همچنین برای گازهای مولکولی مانند اکسیژن دیاتومیک به خوبی کار می کند . این بدان دلیل است که با وجود ظرفیت گرمایی بیشتر (انرژی داخلی بزرگتر در همان دما) به دلیل تعداد بیشتری از درجه آزادی ، انرژی جنبشی ترجمه ای آنها (و در نتیجه سرعت آنها) بدون تغییر است. [7]

بیشترین سرعت احتمالی، V ص ، سرعت به احتمال زیاد به توسط هر مولکول (همان جرم برخوردار است متر ) در سیستم و به مقدار حداکثر یا حالت از تابع f (V) . برای یافتن آن ، مشتق df / dv را محاسبه می کنیم ، آن را روی صفر تنظیم می کنیم و برای v حل می کنیم :
${\ displaystyle {\ frac {df (v)} {dv}} = - 8 \ pi \ چپ ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ راست) ^ {3/2} \ v \ e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2kT}}} \ چپ ({\ frac {mv ^ {2}} {2kT}} - 1 \ راست) = 0}$
با محلول:
${\ displaystyle {\ frac {mv_ {p} ^ {2}} {2kT}} = 1}$
$v_p = \ sqrt {\ frac {2kT} {m}} = \ sqrt {\ frac {2RT} {M}}$
R است ثابت گاز و M جرم مولی ماده است، و در نتیجه ممکن است به عنوان یک محصول از جرم ذره، محاسبه متر ، و عدد آووگادرو ، N :
{\ displaystyle M = mN_ {a}} ${\ displaystyle M = mN_ {a}}$
برای نیتروژن دیاتومیک (N 2 ، جز primary اصلی هوا ) [8] در دمای اتاق (300 K ) ، این به شما می دهد
${\ displaystyle v_ {p} \ تقریبی {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot {} 8.31 \ {\ text {J}} \ cdot {} {\ text {mol}} ^ {- 1} {\ text { K}} ^ {- 1} \ 300 \ {\ text {K}}} {0.028 \ {\ text {kg}} \ cdot {} {\ text {mol}} ^ {- 1}}}} \ تقریبی 422 \ {\ text {m / s}}.}$
میانگین سرعت ، مقدار مورد انتظار توزیع سرعت ، تنظیم شده است ${\ displaystyle b = {\ frac {1} {2a ^ {2}}} = {\ frac {m} {2kT}}}$ ${\ displaystyle \ langle v \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} v \، f (v) \، dv}$
${\ displaystyle = 4 \ pi \ left ({\ frac {b} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {3 } \ e ^ {- bv ^ {2}} dv \، \!}$
${\ displaystyle = 4 \ pi \ left ({\ frac {b} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} {\ frac {1} {2b ^ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {4} {\ pi b}}} \ ، \!}$
${\ displaystyle = {\ sqrt {\ frac {8kT} {\ pi m}}} = {\ sqrt {\ frac {8RT} {\ pi M}}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi }}} v_ {p}}$
میانگین سرعت مربع ${\ displaystyle \ langle v ^ {2} \ rangle}$ لحظه خام درجه دوم توزیع سرعت است. "میانگین سرعت مربع ریشه" ${\ displaystyle v _ {\ mathrm {rms}}}$ ریشه مربع میانگین سرعت مربع است ، مربوط به سرعت تنظیم ذره با انرژی حرکتی میانه است ${\ displaystyle b = {\ frac {1} {2a ^ {2}}} = {\ frac {m} {2kT}}}$ ${\ displaystyle v _ {\ mathrm {rms}} = {\ sqrt {\ langle v ^ {2} \ rangle}} = \ left (\ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {2} \، f (v) \ ، dv \ سمت راست) ^ {1/2}}$
${\ displaystyle = \ left (4 \ pi \ left ({\ frac {b} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {4} \ e ^ {- bv ^ {2}} dv \ right) ^ {1/2} \، \!}$
${\ displaystyle = \ left (4 \ pi \ left ({\ frac {b} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} {\ frac {3} {8}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {b ^ {5}}}} \ راست) ^ {1/2} = \ چپ ({\ frac {3} {2b}} \ راست) ^ {1/2} \ ، \!}$
${\ displaystyle = {\ sqrt {\ frac {3kT} {m}}} = {\ sqrt {\ frac {3RT} {M}}} = {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} v_ { پ}}$

به طور خلاصه ، سرعت های معمول به شرح زیر است:

${\ displaystyle v_ {p} \ تقریبی 88.6 \٪ \ \ langle v \ rangle <\ langle v \ rangle <108.5 \٪ \ \ langle v \ rangle \ تقریبی v _ {\ mathrm {rms}}.}$

میانگین سرعت مربع ریشه ارتباط مستقیمی با سرعت صدای c در گاز دارد ، توسط

${\ displaystyle c = {\ sqrt {\ frac {\ gamma} {3}}} \ v _ {\ mathrm {rms}} = {\ sqrt {\ frac {f + 2} {3f}}} \ v _ {\ mathrm {rms}} = {\ sqrt {\ frac {f + 2} {2f}}} \ v_ {p}،}$

که ${\ displaystyle \ gamma = 1 + {\ frac {2} {f}}}$ است شاخص آدیاباتیک ، F تعداد است درجه آزادی از مولکول گاز فردی است. برای مثال بالا ، نیتروژن دیاتومیک (تقریبی هوا ) در300 K ، ${\ displaystyle f = 5}$ [9] و

${\ displaystyle c = {\ sqrt {\ frac {7} {15}}} v _ {\ mathrm {rms}} \ تقریبی 68 \٪ \ v _ {\ mathrm {rms}} \ تقریبی 84 \٪ \ v_ {p } \ تقریبی 353 \ \ mathrm {m / s} ،}$

ارزش واقعی برای هوا را می توان با استفاده از وزن مولر متوسط تقریبی هوا (29 گرم در مول ) ، عملکرد دارد 347 متر بر ثانیه در300 K (اصلاحات برای رطوبت متغیر از حد 0.1٪ تا 0.6٪ است).

یادداشت

این مجموعه یادداشت های من است

ارتباط با توزیع 2 بعدی ماکسول – بولتزمن

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ