ادامه نظریه جنبشی گازها

جمعه هفدهم بهمن ۱۳۹۹ - 15:53 - nali -

خواص حمل و نقل [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: پدیده های حمل و نقل

نظریه جنبشی گازها نه تنها با گازهای موجود در تعادل ترمودینامیکی سروکار دارد ، بلکه بسیار مهمتر از آن با گازهایی است که در تعادل ترمودینامیکی نیستند. این به معنای استفاده از تئوری جنبشی برای در نظر گرفتن آنچه به عنوان "خصوصیات انتقال" شناخته می شوند ، مانند گرانروی ، هدایت حرارتی و نفوذ جرم است .

ویسکوزیته و حرکت جنبشی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: ویسکوزیته. انتقال حرکت

در کتابهای تئوری جنبشی ابتدایی [18] می توان نتیجه ای برای مدل سازی گاز رقیق یافت که کاربرد گسترده ای دارد. استخراج مدل جنبشی برای ویسکوزیته برشی معمولاً با در نظر گرفتن یک جریان کویت شروع می شود که در آن دو صفحه موازی با یک لایه گاز جدا می شوند. صفحه فوقانی در اثر نیروی F با سرعت ثابت به سمت راست حرکت می کند. صفحه پایین ثابت است و بنابراین باید یک نیروی برابر و متضاد روی آن وارد شود تا آن را در حالت استراحت نگه دارد. مولکولهای موجود در لایه گاز دارای یک جز component سرعت رو به جلو هستند $تو$ که با فاصله یکنواخت افزایش می یابند $y$ بالای صفحه پایین جریان غیر تعادلی بر روی a قرار می گیرد توزیع تعادل ماکسول-بولتزمن از حرکات مولکولی شود.

اجازه دهید $\ سیگما$ مقطع برخورد یک مولکول است که با مولکول دیگر برخورد می کند. تراکم عدد $n$ به عنوان تعداد مولکولها در هر حجم (گسترده) تعریف می شود ${\ displaystyle n = N / V}$ . مقطع برخورد در هر حجم یا تراکم مقطع برخورد است ${\ displaystyle n \ sigma}$ ، و مربوط به میانگین مسیر آزاد است $من$ توسط

${\ displaystyle l = {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} n \ sigma}}}$

توجه داشته باشید که واحد مقطع برخورد در هر حجم است ${\ displaystyle n \ sigma}$ متقابل طول است. میانگین مسیر آزاد ، میانگین مسافت پیموده شده توسط یک مولکول یا تعدادی مولکول در هر حجم ، قبل از اینکه اولین برخورد خود را انجام دهند.

اجازه دهید ${\ displaystyle u_ {0}}$ سرعت جلوتر گاز در یک سطح افقی خیالی در داخل لایه گاز باشد. تعداد مولکول هایی که به یک منطقه می رسند $dA$ در یک طرف لایه گاز ، با سرعت $v$ در زاویه $\ تتا$ از حد معمول ، در فاصله زمانی

$dt$ است

${\ displaystyle nv \ cos {\ theta} \، dAdt {\ times} \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k_ {B} T}} \ right) ^ {3/2} \، e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin {\ theta} \، dv {d \ theta} d \ phi)}$

این مولکول ها آخرین برخورد خود را از راه دور انجام دادند ${\ displaystyle l \ cos \ theta}$ در بالا و پایین لایه گاز ، و هر یک حرکت رو به جلو را دارند

${\ displaystyle p_ {x} ^ {\ pm} = m \ left (u_ {0} \ pm l \ cos \ theta \، {du \ over dy} \ right)،}$

که در آن علامت بعلاوه به مولکولهای بالا و علامت منهای زیر اعمال می شود. توجه داشته باشید که شیب سرعت رو به جلو است ${\ displaystyle du / dy}$ می تواند ثابت باشد در یک فاصله از میانگین مسیر آزاد.

ادغام در تمام سرعتهای مناسب در محدودیت

${\ displaystyle {\ begin {موارد} v> 0 \\ 0 <\ theta <\ pi / 2 \\ 0 <\ phi <2 \ pi \ end {موارد}}}$

انتقال حرکت حرکت رو به جلو در واحد زمان در واحد سطح (همچنین به عنوان تنش برشی شناخته می شود ):

${\ displaystyle \ tau ^ {\ pm} = {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} n \ cdot m \ left (u_ {0} \ pm {\ frac {2} {3} } l \ ، {du \ over dy} \ راست)}$

بنابراین نرخ خالص حرکت در واحد سطح که از طریق سطح خیالی منتقل می شود ، است

${\ displaystyle \ tau = \ tau ^ {+} - \ tau ^ {-} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nm \ cdot l \، {du \ over dy}}$

ترکیب معادله جنبشی فوق با قانون ویسکوزیته نیوتن

${\ displaystyle \ tau = \ eta \ ، {du \ over dy}}$

معادله ویسکوزیته برشی را می دهد ، که معمولاً مشخص می شود $\ eta_ {0}$ وقتی گاز رقیق است:

${\ displaystyle \ eta _ {0} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nml}$

ترکیب این معادله با معادله برای میانگین مسیر آزاد می دهد

${\ displaystyle \ eta _ {0} = {\ frac {1} {3 {\ sqrt {2}}}} {\ frac {m \ cdot {\ bar {v}}} {\ sigma}}}$

توزیع ماکسول-بولتزمن سرعت مولکولی متوسط (تعادل) را به همان اندازه می دهد

${\ displaystyle {\ bar {v}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} v_ {p} = 2 {\ sqrt {{\ frac {2} {\ pi}} \ cdot { \ frac {k_ {B} T} {m_ {}}}}}}$

جایی که ${\ displaystyle v_ {p}}$ محتمل ترین سرعت است. ما توجه داریم که

${\ displaystyle k_ {B} \ cdot N_ {A} = R \ quad {\ text {and}} \ quad M = m \ cdot N_ {A}}$

و سرعت را در معادله ویسکوزیته فوق وارد کنید. این معادله شناخته شده برای ویسکوزیته برشی برای گازهای رقیق را نشان می دهد :

${\ displaystyle \ eta _ {0} = {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ pi}}}}} cdot {\ frac {\ sqrt {mk_ {B} T}} {\ sigma}} = {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ pi}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {MRT}} {\ sigma \ cdot N_ {A}}}}$

و $م$ است جرم مولی . معادله فوق فرض می کند که چگالی گاز کم است (یعنی فشار کم است). این بدان معنی است که انرژی ترجمه جنبشی بر انرژی مولکول چرخشی و ارتعاشی غالب است. معادله ویسکوزیته پیش فرض این است که تنها یک نوع مولکول گاز وجود دارد و اینکه مولکول های گاز ذرات هسته الاستیک و سخت کاملی هستند که به شکل کروی هستند. این فرض از مولکول های کروی الاستیک ، هسته سخت ، مانند توپ های بیلیارد ، نشان می دهد که سطح مقطع برخورد یک مولکول را می توان با

${\ displaystyle \ sigma = \ pi \ چپ (2r \ راست) ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$

شعاع $ر$ شعاع مقطع برخورد یا شعاع جنبشی و قطر نامیده می شود $د$ قطر مقطع برخورد یا قطر جنبشی یک مولکول در یک گاز تک مولکولی نامیده می شود . هیچ رابطه کلی ساده ای بین مقطع برخورد و اندازه هسته سخت مولکول (نسبتاً کروی) وجود ندارد. این رابطه به شکل انرژی پتانسیل مولکول بستگی دارد. برای یک مولکول کروی واقعی (یعنی یک اتم گاز نجیب یا یک مولکول کروی منطقی) پتانسیل تعامل بیشتر شبیه پتانسیل لنارد-جونز یا پتانسیل مورس است که دارای یک قسمت منفی است که مولکول دیگر را از فواصل طولانی تر از شعاع هسته سخت جذب می کند. شعاع برای پتانسیل صفر لنارد-جونز پس از آن مناسب است برای استفاده به عنوان برآورد برای شعاع جنبشی.

هدایت حرارتی و شار گرما [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: رسانایی گرمایی

با توجه به منطق مشابه فوق ، می توان مدل جنبشی هدایت حرارتی [18] گاز رقیق را بدست آورد:

دو صفحه موازی را در نظر بگیرید که توسط یک لایه گاز جدا شده اند. هر دو صفحه دمای یکنواختی دارند و در مقایسه با لایه گاز آنقدر عظیم هستند که می توانند به عنوان مخازن حرارتی رفتار شوند . صفحه فوقانی دمای بالاتری نسبت به صفحه پایین دارد. مولکولهای موجود در لایه گاز دارای انرژی جنبشی مولکولی هستند $\ varepsilon$ که با فاصله یکنواخت افزایش می یابد $y$ بالای صفحه پایین جریان انرژی غیرتعادلی بر توزیع تعادل ماکسول-بولتزمن از حرکات مولکولی سوار می شود.

اجازه دهید ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ انرژی جنبشی مولکولی گاز در یک سطح افقی خیالی در داخل لایه گاز باشد. تعداد مولکول هایی که به یک منطقه می رسند $dA$ در یک طرف لایه گاز ، با سرعت $v$ در زاویه $\ تتا$ از حد معمول ، در فاصله زمانی $dt$ است

${\ displaystyle \ quad nv \ cos {\ theta} \، dAdt {\ times} \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k_ {B} T}} \ right) ^ {\ frac {3} { 2}} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin {\ theta} \، dv {d \ theta} d \ phi) }$

این مولکول ها آخرین برخورد خود را از راه دور انجام دادند ${\ displaystyle l \ cos \ theta}$ در بالا و پایین لایه گاز ، و هر یک به یک انرژی جنبشی مولکولی کمک می کنند

${\ displaystyle \ quad \ varepsilon ^ {\ pm} = \ left (\ varepsilon _ {0} \ pm mc_ {v} l \ cos \ theta \، {dT \ over dy} \ right)،}$

جایی که $رزومه}$ است ظرفیت گرمایی ویژه . دوباره علامت بعلاوه به مولکولهای بالا و علامت منهای زیر اعمال می شود. توجه داشته باشید که شیب دما ${\ displaystyle dT / dy}$ می تواند ثابت باشد در یک فاصله از میانگین مسیر آزاد.

ادغام در تمام سرعتهای مناسب در محدودیت

${\ displaystyle {\ begin {موارد} v> 0 \\ 0 <\ theta <\ pi / 2 \\ 0 <\ phi <2 \ pi \ end {موارد}}}$

انتقال انرژی در واحد زمان در واحد سطح را ارائه می دهد (همچنین به عنوان شار گرما شناخته می شود ):

${\ displaystyle \ quad q_ {y} ^ {\ pm} = - {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} n \ cdot \ سمت چپ (\ varepsilon _ {0} \ pm {\ frac {2} {3}} mc_ {v} l \ ، {dT \ over dy} \ سمت راست)}$

توجه داشته باشید که انتقال انرژی از بالا در $-و$ جهت ، و بنابراین علامت منفی کلی در معادله. بنابراین شار حرارتی خالص در سطح خیالی است

${\ displaystyle \ quad q = q_ {y} ^ {+} - q_ {y} ^ {-} = - {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nmc_ {v} l \ ، {dT \ over dy}}$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_theory_of_gases

یادداشت

این مجموعه یادداشت های من است